1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
|
(* $Id$ *)
(*********************************************************)
(* Axiomatisation of the classical reals *)
(* *)
(*********************************************************)
Require Export ZArith.
Require Export TypeSyntax.
Parameter R:Type.
Parameter R0:R.
Parameter R1:R.
Parameter Rplus:R->R->R.
Parameter Rmult:R->R->R.
Parameter Ropp:R->R.
Parameter Rinv:R->R.
Parameter Rlt:R->R->Prop.
Parameter up:R->Z.
(*********************************************************)
(**********)
Definition Rgt:R->R->Prop:=[r1,r2:R](Rlt r2 r1).
(**********)
Definition Rle:R->R->Prop:=[r1,r2:R]((Rlt r1 r2)\/(r1==r2)).
(**********)
Definition Rge:R->R->Prop:=[r1,r2:R]((Rgt r1 r2)\/(r1==r2)).
(**********)
Definition Rminus:R->R->R:=[r1,r2:R](Rplus r1 (Ropp r2)).
(*********************************************************)
(* Field axioms *)
(*********************************************************)
(*********************************************************)
(* Addition *)
(*********************************************************)
(**********)
Axiom Rplus_sym:(r1,r2:R)((Rplus r1 r2)==(Rplus r2 r1)).
(**********)
Axiom Rplus_assoc:(r1,r2,r3:R)
((Rplus (Rplus r1 r2) r3)==(Rplus r1 (Rplus r2 r3))).
(**********)
Axiom Rplus_Ropp_r:(r:R)((Rplus r (Ropp r))==R0).
Hints Resolve Rplus_Ropp_r : real v62.
(**********)
Axiom Rplus_ne:(r:R)(((Rplus r R0)==r)/\((Rplus R0 r)==r)).
Hints Resolve Rplus_ne : real v62.
(***********************************************************)
(* Multiplication *)
(***********************************************************)
(**********)
Axiom Rmult_sym:(r1,r2:R)((Rmult r1 r2)==(Rmult r2 r1)).
Hints Resolve Rmult_sym : real v62.
(**********)
Axiom Rmult_assoc:(r1,r2,r3:R)
((Rmult (Rmult r1 r2) r3)==(Rmult r1 (Rmult r2 r3))).
Hints Resolve Rmult_assoc : real v62.
(**********)
Axiom Rinv_l:(r:R)(~(r==R0))->((Rmult (Rinv r) r)==R1).
(**********)
Axiom Rmult_ne:(r:R)(((Rmult r R1)==r)/\((Rmult R1 r)==r)).
Hints Resolve Rmult_ne : real v62.
(**********)
Axiom R1_neq_R0:(~R1==R0).
(*********************************************************)
(* Distributivity *)
(*********************************************************)
(**********)
Axiom Rmult_Rplus_distr:(r1,r2,r3:R)
((Rmult r1 (Rplus r2 r3))==(Rplus (Rmult r1 r2) (Rmult r1 r3))).
Hints Resolve Rmult_Rplus_distr : real v62.
(*********************************************************)
(* Order axioms *)
(*********************************************************)
(*********************************************************)
(* Total Order *)
(*********************************************************)
(**********)
Axiom total_order_T:(r1,r2:R)(sumorT (sumboolT (Rlt r1 r2) (r1==r2))
(Rgt r1 r2)).
(*********************************************************)
(* Lower *)
(*********************************************************)
(**********)
Axiom Rlt_antisym:(r1,r2:R)(Rlt r1 r2) -> ~(Rlt r2 r1).
(**********)
Axiom Rlt_trans:(r1,r2,r3:R)
(Rlt r1 r2)->(Rlt r2 r3)->(Rlt r1 r3).
(**********)
Axiom Rlt_compatibility:(r,r1,r2:R)(Rlt r1 r2)->
(Rlt (Rplus r r1) (Rplus r r2)).
(**********)
Axiom Rlt_monotony:(r,r1,r2:R)(Rlt R0 r)->(Rlt r1 r2)->
(Rlt (Rmult r r1) (Rmult r r2)).
(**********************************************************)
(* Injection from N to R *)
(**********************************************************)
(**********)
Fixpoint INR [n:nat]:R:=(Cases n of
O => R0
|(S O) => R1
|(S n) => (Rplus (INR n) R1)
end).
(**********************************************************)
(* Injection from Z to R *)
(**********************************************************)
(**********)
Definition IZR:Z->R:=[z:Z](Cases z of
ZERO => R0
|(POS n) => (INR (convert n))
|(NEG n) => (Ropp (INR (convert n)))
end).
(**********************************************************)
(* R Archimedian *)
(**********************************************************)
(**********)
Axiom archimed:(r:R)(Rgt (IZR (up r)) r)/\
(Rle (Rminus (IZR (up r)) r) R1).
(**********************************************************)
(* R Complete *)
(**********************************************************)
(**********)
Definition is_upper_bound:=[E:R->Prop][m:R](x:R)(E x)->(Rle x m).
(**********)
Definition bound:=[E:R->Prop](ExT [m:R](is_upper_bound E m)).
(**********)
Definition is_lub:=[E:R->Prop][m:R]
(is_upper_bound E m)/\(b:R)(is_upper_bound E b)->(Rlt m b).
(**********)
Axiom complet:(E:R->Prop)((bound E)->(ExT [m:R](is_lub E m))).
|
